Si observas el velocímetro de un coche, ves cómo cambia su velocidad en cada momento. No indica la velocidad media de todo el viaje, sino la que lleva justo entonces. Esa diferencia ayuda a entender qué es una derivada: una herramienta matemática que describe cómo cambia una cantidad respecto a otra en un instante o punto concreto. Aunque su definición utiliza límites, la idea inicial es cercana: estudiar cambios cada vez más pequeños para conocer lo que está ocurriendo justo ahora.
¿Qué es una derivada y qué información nos da?
La derivada de una función en un punto mide su tasa de cambio instantánea. Si una función relaciona una variable x con un resultado f(x), su derivada indica con qué rapidez aumenta o disminuye ese resultado cuando x cambia cerca del punto elegido.
Se escribe habitualmente f′(x), que se lee «efe prima de equis». También puedes encontrar la notación dy/dx cuando la función se expresa como y = f(x). Ambas representan la derivada respecto a x.
Sus unidades dependen de las cantidades relacionadas. Si una función expresa la posición en metros y el tiempo en segundos, su derivada expresa la velocidad en metros por segundo. Por eso, una derivada no es simplemente un número: tiene un significado dentro del problema.
De la tasa de cambio media al cambio instantáneo
Imagina que un ciclista recorre 60 metros en 10 segundos. Su velocidad media es 60/10 = 6 metros por segundo. Sin embargo, podría haber acelerado o frenado durante ese intervalo. La media no permite saber la velocidad exacta en cada instante.
Para acercarnos a esa información, calculamos el cambio durante intervalos cada vez más pequeños. En una función, la tasa de cambio media entre x y x + h es: [f(x + h) − f(x)] / h.
La derivada aparece al estudiar a qué valor se aproxima ese cociente cuando h se acerca a cero: f′(x) = lim(h → 0) [f(x + h) − f(x)] / h. No sustituimos h por cero directamente, porque dividiríamos entre cero; calculamos un límite. Si ese límite existe y es finito, la función es derivable en ese punto.
¿Cómo se interpreta la derivada en una gráfica?
En la gráfica de una función, la derivada representa la pendiente de la recta tangente en un punto. Esta recta refleja la inclinación local de la curva: al ampliar mucho una zona donde la función es derivable, la curva se parece cada vez más a su tangente.
El signo de la derivada ayuda a interpretar el comportamiento de la función:
- Derivada positiva: si se mantiene positiva en un intervalo, la función crece en él.
- Derivada negativa: si se mantiene negativa en un intervalo, la función decrece en él.
- Derivada igual a cero: la tangente es horizontal. Puede haber un máximo o un mínimo, pero no necesariamente; f(x) = x³ tiene derivada cero en x = 0 y sigue creciendo.
Un ejemplo sencillo: derivar f(x) = x²
Aplicamos la definición a f(x) = x². Primero calculamos la diferencia: f(x + h) − f(x) = (x + h)² − x² = 2xh + h². Después dividimos entre h, con h distinto de cero, y obtenemos 2x + h.
Cuando h se aproxima a cero, el resultado se aproxima a 2x. Por tanto, la derivada de x² es 2x. Esto significa que la pendiente cambia según el punto: en x = 1 vale 2; en x = 3 vale 6.
También permite hacer aproximaciones. Cerca de x = 3, un aumento de 0,01 en x produce aproximadamente un aumento de 6 × 0,01 = 0,06 en la función. El cambio exacto es 3,01² − 3² = 0,0601: muy próximo, aunque no idéntico.
¿Para qué sirven las derivadas y cuándo no existen?
Las derivadas permiten estudiar velocidades, ritmos de crecimiento y problemas de optimización. Se utilizan para analizar cómo cambia una población, cómo varía la temperatura o qué dimensiones permiten aprovechar mejor un material. Derivar la velocidad respecto al tiempo, por ejemplo, proporciona la aceleración.
Pero no todas las funciones tienen derivada en todos sus puntos. La función f(x) = |x| forma una esquina en x = 0: por la izquierda tiene pendiente −1 y por la derecha, +1. Como no coinciden, allí no existe derivada.
Este ejemplo muestra que ser continua no basta para ser derivable. La idea esencial es reconocer cuándo un cambio puede describirse mediante una pendiente instantánea bien definida.
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